高斯求积公式代数精度
数值积分
考虑带权的积分如下：
其中 w(x)≥0,∫baw(x)dx>0w(x)≥0,∫abw(x)dx>0 称为权。一般的数值积分公式有如下的形式：
即用n+1n+1 个函数值的加权和来近似积分的值。
以xi(i=0,1,⋯,n)xi(i=0,1,⋯,n) 为节点的拉格朗日(Langrange)插值多项式为：
li(x)li(x)是拉格朗日插值基函数，则：
一般我们取wi=∑ni=0∫baw(x)li(x)dxwi=∑i=0n∫abw(x)li(x)dx ，则数值积分公式的误差就是上式等号右侧的第二项，当f(x)f(x) 是不超过nn 次的多项式时，容易看出误差为0。若数值积分公式对不超过kk 次的多项式精确成立，我们就称它的代数精度为kk 。所以上述数值积分公式的代数精度至少为nn。
数值积分公式中含有n+1n+1 个wiwi 和n+1n+1个xixi ，共2n+22n+2 个自由度，所以可以想象通过适当选取节点xixi ，它的代数精度最多可以为2n+12n+1 。我们把具有2n+12n+1 次代数精度的求积公式称为高斯求积公(GaussianQuadrature)，其节点xi(i=0,1,⋯,n)xi(i=0,1,⋯,n) 称为高斯点。
正交多项式与高斯点
称多项式p(x),q(x)p(x),q(x) （带权）正交如果：
假设以xi(i=0,1,⋯,n)xi(i=0,1,⋯,n) 为零点的多项式p(x)=(x−x0)(x−x1)⋯(x−xn)p(x)=(x−x0)(x−x1)⋯(x−xn) 与任何不超过nn次的多项式正交，由多项式的带余除法可知，对于不超过2n+12n+1次的多项式f(x)f(x) ，有不超过nn 次的多项式q(x),r(x)q(x),r(x)使得：
那么：
又：
所以：
通过这种方式，我们发现只要选取节点为正交多项式的零点就可以得到高斯求积公式。
例子
Gauss-Legendre
取[a,b]=[−1,1],w(x)=1[a,b]=[−1,1],w(x)=1，由1,x,x2,⋯1,x,x2,⋯ 正交化得到的多项式称为勒朗德(Legendre)多项式，一般记为Pn(x)Pn(x) 。我们只要选取节点为Pn+1(x)Pn+1(x) 的零点就可以得到高斯-勒朗德求积公式。
Gauss-Chebyshev
取[a,b]=[−1,1],w(x)=11−x2√[a,b]=[−1,1],w(x)=11−x2，由1,x,x2,⋯1,x,x2,⋯ 正交化得到的多项式称为切比雪夫(chebyshev)多项式，一般记为Tn(x)Tn(x) 。我们只要选取节点为Tn+1(x)Tn+1(x) 的零点就可以得到高斯-切比雪夫求积公式。
Gauss-Radau
取[a,b]=[−1,1][a,b]=[−1,1] ，且固定x0=−1x0=−1 ，取：
取合适的aa 使得p(−1)=0p(−1)=0 ，x1,x2,⋯,xnx1,x2,⋯,xn 是p(x)p(x)剩余的零点，则对任意次数不超过2n2n 的多项式f(x)f(x) ：
r(x)r(x) 的次数不超过nn ，q(x)q(x) 的次数不超过n−1n−1 ，且f(xi)=r(xi)f(xi)=r(xi) ，那么
其中：
于是有：
Gauss-Labotto
取[a,b]=[−1,1][a,b]=[−1,1] ，固定x0=−1,xn=1x0=−1,xn=1，取：
取合适的a,ba,b 使得p(−1)=p(1)=0p(−1)=p(1)=0 ，令x1,x2,⋯,xn−1x1,x2,⋯,xn−1 是p(x)p(x)剩余的零点，则对任意次数不超过2n−12n−1的多项式f(x)f(x) ：
同样可以证明：
